具有未知局部结构的信号的非参数去噪, I: Oracle 不等式

我们考虑从规则网格 $\bZd$ 上的含噪观测 $(y_\tau)$ 中对多维信号 $s$ 进行逐点估计的问题。我们的重点在于信号可以通过一个（假设的）线性滤波器（该滤波器可能依赖于未知信号本身）得到良好恢复的情况下的自适应估计。我们在此处理的问题的基本设定可以概括如下：假设信号 $s$ 是“良好滤波的”，即存在一个自适应的时不变线性滤波器 $q^*_T$，其系数在“立方体”$\{0,..., T\}^d$ 之外为零，该滤波器能以较小的均方误差从观测中恢复 $s_0$。我们假设不知道滤波器 $q^*$，尽管我们知道这样的滤波器存在。我们对以下问题给出了部分答案：——是否有可能构造一个 $s_0$ 值的自适应估计器，该估计器依赖于观测，并以与未知滤波器 $q^*_T$ 基本相同的估计误差恢复 $s_0$？——（在上述意义上）良好滤波的信号族有多丰富？我们证明第一个问题的答案是肯定的，并提供了一个数值上高效的非线性自适应滤波器构造。此外，我们建立了“良好滤波”信号的简单演算，并表明它们的族相当大：例如，它包含采样的光滑信号、采样的调制光滑信号和采样的调和函数。