一维非线性动力学：关于粗化判据及其时间规律

我们为一类描述一维图案形成系统的非线性演化方程建立了关于粗化的一般判据。该判据能够区分发生粗化过程的情况与波长随时间固定的情况。可能出现一种中间情景，即“中断粗化”。该判据的威力在于，仅通过检查稳态周期解分支的行为，即可判断是否发生粗化或选择某一长度尺度。判据指出，若 λ'(A)>0 则发生粗化，而若 λ'(A)<0 则存在长度尺度选择，其中 λ 是图案的波长，A 是轮廓的振幅。该判据是通过分析图案的相位扩散方程建立的。我们将相位扩散系数 D(λ)（携带动力学信息）与 λ'(A)（涉及纯稳态性质）联系起来。对于几类方程，动力学与稳态解分支行为之间的关系被完全解析地建立。这里出现的另一个重要且新颖的结果是，利用相位扩散系数能够以相当直接的方式确定动力学粗化指数。我们的计算基于 |D(λ)|=λ^2/t 的思想，并在多个非线性方程上进行了例证，表明能够捕获精确指数。文中还概述了将当前结果推广到更高维度的若干推测。