整数环上的幂零多项式

对于多项式$u(x)\in\mathbb{Z}[x]$和$r\in\mathbb{Z}$，我们考虑$u$在$r$处的轨道，定义为$\mathcal{O}_u(r):=\{u^{(n)}(r)~|~n\in\mathbb{N}\}$。这里我们研究轨道中包含0的多项式，并称这样的多项式为在$r$处幂零的，指数为$m$，其中$m$是集合$\{n\in\mathbb N~|~u^{(n)}(r)=0\}$的最小元素。当$|r|\le 4$时，我们给出了这些多项式的完全分类，其中$|r|\le 1$的情况已在作者之前的论文《Locally nilpotent polynomials over $\mathbb Z$》中涵盖。本文的中心目标是研究以下问题：(i) 当在$r$处指数为$m$的幂零多项式集合非空时，整数$r$和$m$之间的关系；(ii) 对于足够大的$|r|$，具有幂零指数$|r|$的整数多项式的分类；(iii) 有界整数多项式序列$\{r_n\}_{n\ge 0}$。