Bockstein 算子的幂零性、Kropholler 层级结构与 Moore 猜想

Moore 猜想断言：若 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个有限指数子群，使得 $G - H$ 不含素数阶元素（例如 $G$ 是无挠的），则一个在 $H$ 上投射的 $G$-模在 $G$ 上也是投射的。该猜想对有限群成立。在这种情况下，它是 Chouinard 定理的直接推论，而 Chouinard 定理基于 Serre 关于 Bockstein 算子乘积消失的一个基本结果。Benson 利用 Baumslag、Dyer 和 Heller 的构造指出，Serre 定理对无限群的类比一般不成立。我们证明，对于满足 Serre 定理类比条件的群，该猜想成立。利用 Benson 和 Goodearl 的一个结果，我们证明该猜想对 Kropholler 层级结构 LHF 中的所有群成立，从而推广了 Aljadeff、Cornick、Ginosar 和 Kropholler 的一个结果。我们证明了满足该猜想的群对 $(G, H)$ 的两个闭包性质：一个是在态射下的闭包，另一个是来自 Kropholler 构造的闭包运算。我们利用这一点来展示 Serre 定理类比不成立但猜想仍成立的情形。我们将证明，实际上存在群对 $(G, H)$，其中 $H$ 是 $G$ 中素数指数完美正规子群，且猜想对 $(G, H)$ 成立。此外，我们将证明，只需证明该猜想对这类群成立即可。