关于$k$-Roudneff猜想的新结果

在本文中，我们研究了一个有向拟阵的$k$-邻接重定向的数量，从而引向对$k$-Roudneff猜想的研究，其中$k=1$的情形是1991年提出的原始猜想。我们首先证明了该猜想对于偶秩$r=2k+2$的Lawrence有向拟阵（LOMs）族成立，并通过计算机验证了低秩情形。其次，我们给出了任何LOM的$k$-邻接重定向数量的一个一般上界。最后，我们证明了对于任何$k\ge 1$和任何在$n$个元素上的有向拟阵，$k$-Roudneff猜想在$n\rightarrow \infty$时渐近成立，从而为猜想提供了更多支持。