关于拟阵的数量

我们考虑确定$m_n$的问题，即$n$个元素上拟阵的数量。已知$m_n$的最佳下界来自Knuth（1974），他证明了$\log \log m_n$至少为$n-3/2\log n-1$。另一方面，Piff（1973）证明了$\log\log m_n\leq n-\log n+\log\log n +O(1)$，此后一直有人猜测正确答案可能更接近Knuth的界。我们证明情况确实如此，并给出了$\log\log m_n$的上界，该上界与Knuth下界相差一个加法项$1+o(1)$。我们的证明基于利用拟阵中非基的一些结构性质以及约翰逊图中独立集的一些性质，从而给出拟阵的压缩表示。