广义欧拉恒等式的新极限-有限形式：$A_{1}^{(1)}$-弦函数与类似拟似 theta 恒等式

确定 Kac-Moody 代数弦函数和分支系数的显式形式与模块性是重要问题。对于 $A_{1}^{(1)}$ 仿射 Kac-Moody 代数的正许可-水平弦函数，已知甚少。本文我们应用准周期性到 $A_{1}^{(1)}$ 仿射 Kac-Moody 代数的 Schilling 与 Warnaar 广义欧拉恒等式中。对于整数水平的弦函数，经典周期性将恒等式中的无穷和化为带 theta 函数系数的有限和。对于许可水平，我们同样化简为类似的有限和，但还额外获得一个形式为 \n\begin{equation*} \sum_{i}\Phi_{i}(q)\Psi_{i}(q), \end{equation*} 的有限和，其中 $\Phi_i(q)$ 的模组性仅取决于自旋，而 $\Psi_{i}(q)$ 的混合模组 Hecke 类型双和为模组性，仅取决于量子数。对于水平 $1/2$、$1/3$ 和 $2/3$，我们还发现 $\Psi_{i}(q)$ 提供了一族类似拟 theta 恒等式的称呼。本文我们聚焦于评估 $\Psi_{i}(q)$，其表达式运用了拉马努金的二阶拟 theta 函数 $\mu_2(q)$ 和三阶拟 theta 函数 $f_{3}(q)$、$\omega_3(q)$、$\psi_{3}(q)$ 与 $\chi_3(q)$。