新分形维数及其在算术块中的一些应用

本文定义了度量空间的新分形维数，以计算集合在大尺度上的粗糙性。这些分形维数称为上 zeta 维数与下 zeta 维数。上 zeta 维数是由 Doty、Gu、Lutz、Elvira、Mayordomo 和 Moser 引入的 zeta 维数的推广。我们证明上 zeta 维数始终是 Assouad 维数的一个下界。此外，我们将上 zeta 维数应用于给定集合的弱算术块的存在性。算术块是高维化的等差数列。作为一个推论，我们得到了 Erd\H{o}s-Tur\'an 猜想的高维弱类比的肯定解。其中一维情形由 Fraser 和 Yu 证明。作为例子，我们证明了 $\mathbb{Z}[\alpha]$ 中所有不可约元素之集合，以及形如 $p(p(n))$ 的所有素数之集合（其中 $\alpha$ 是一个虚二次整数，$p(n)$ 表示第 $n$ 个素数）的弱算术块的存在性。