新的定积分与一项两项 dilogarithm 恒等式

在 $\sum_{n=1}^\infty{1/n^2} = {\pi^2/6}$ 的已知若干证明中,Beukers、Calabi 和 Kolk 的证明涉及 $\,\int_0^1 {\int_0^1{1/(1-x^2 y^2) \, dx} \, dy}$ 的求值。该证明首先表明这个二重积分等价于 $\frac34 \sum_{n=1}^\infty{1/n^2}$,然后应用一个非平凡的 \emph{三角}变量替换,将该积分变换为 $\,{\int \int}_T \: 1 \; du \, dv$,其中 $T$ 是一个三角形区域,其面积恰好为 ${\pi^2/8}$。在本文中,我引入了这种变量替换的双曲版本,并将其应用于上述积分,从而找到了 $\int_0^\infty{[\sinh^{-1}{(\cosh{u})}-u] d u}$, $\,\int_{\alpha}^\infty{[u-\cosh^{-1}{(\sinh{u})}] d u}$ 和 $\,\int_{\,\alpha/2}^\infty{\ln{(\tanh{u})} \: d u}$ 的精确闭式表达式,其中 $\alpha = \sinh^{-1}(1)$。由最后一个积分,我还推导出一个两项 dilogarithm 恒等式。