反应扩散方程的神经网络逼近——齐次诺伊曼边界条件与长时间积分

反应扩散系统出现在科学和工程的多个领域。由于此类方程的特殊性，通常无法获得解析解，数值方法是逼近解的主要工具。在过去十年中，人工神经网络已成为求解偏微分方程的一个活跃发展领域。然而，当这些方法应用于反应扩散方程时，仍存在若干挑战尚未解决。在这项工作中，我们聚焦于两个主要问题：齐次诺伊曼边界条件的实现和长时间积分。对于齐次诺伊曼边界条件，我们探索了四种基于PINN方法的神经网络方法。对于反应扩散系统中的长时间积分，我们提出了一种时间域分解方法，并对无通量边界条件的不同实现方式进行了详细比较。我们证明，在神经网络方法中，域分解方法对于反应扩散系统的长时间积分至关重要。我们通过数值实验证明，域分解对于避免局部最小值至关重要，而使用不同的边界条件通过改善数值逼近进一步增强了分解技术。为验证所提方法，我们提供了扩散方程、双稳态方程和Barkley方程的数值算例，并对所提方法进行了详细讨论和比较。