基于依赖域与收敛序列输入的神经网络求解守恒律，第一部分：一维黎曼问题
数值分析
2021-09-21 v1 数值分析
流体动力学
摘要
近期利用深度神经网络（DNNs）求解偏微分方程（PDEs）的研究表明，由自动微分定义的时空函数逼近器能有效逼近非线性问题，例如 Burgers 方程、热传导方程、Allen-Cahn 及其他反应扩散方程，以及 Navier-Stokes 方程。同时，研究者将物理信息神经网络（PINN）中的自动微分应用于基于守恒律的高度不连续过渡非线性双曲系统（如黎曼问题），通过数据驱动方法的反问题公式求解。然而，对于不知晓部分解、使用 DNNs 的正向方法而言，分辨非线性守恒律中的不连续性仍具挑战。本研究中，我们将一阶数值格式融入 DNNs 以构建损失泛函逼近器，取代传统深度学习框架（如 TensorFlow 包）中的自动微分，从而提升捕捉黎曼问题不连续性的有效性。具体而言，本文引入了 2-粗网格神经网络（2CGNN）与 2-扩散系数神经网络（2DCNN）。我们利用由低成本数值格式算出的守恒律收敛序列中的两个解，以及时空网格点依赖域中的解，作为神经网络输入，以预测该网格点的高保真解。尽管输入解被抹平，它们仍能输出含激波与接触间断的尖锐近似，且一旦训练完成便高效易用。
引用
@article{arxiv.2109.09316,
title = {Neural Networks with Inputs Based on Domain of Dependence and A Converging Sequence for Solving Conservation Laws, Part I: 1D Riemann Problems},
author = {Haoxiang Huang and Yingjie Liu and Vigor Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.09316},
year = {2021}
}