面向高维扩散-反应方程的物理驱动深度学习与压缩错位方法：实用存在性理论与数值
机器学习
2025-11-12 v3 信息论
数值分析
math.IT
数值分析
摘要
在科学计算的最前沿，深度学习（DL），即使用深度神经网络（DNNs）的机器学习，已成为求解偏微分方程（PDE）的强大新工具。人们注意到，DNNs 在弱化维度诅咒方面尤为出色，这一术语由 Richard E. Bellman 在 50 年代提出，用以描述样本复杂度——即求解近似问题所需样本数量——随环境空间维度指数增长的挑战。然而，尽管 DNNs 已被用于求解 PDE 多年之久，支撑其在数值分析中（即稳定性、精度和样本复杂度）的数学效率文献，仅近期才开始涌现。本文利用稀疏性技术和随机抽样的最新进展，发展并分析一种高效的基于 DL 的高维 PDE 求解器。我们在理论和数值上展示，它能够与一种新型稳定且准确的压缩谱错位方法相抗衡，用于求解具有周期边界条件的高维、稳态扩散-反应方程。特别是，我们展示了一种新的实用存在性定理，确立了具有合适网络结构界限且样本复杂度满足条件的一类可训练 DNNs 的存在性，以对数或最多线性方式随维度扩展，使得所得网络以高概率稳定且准确地逼近扩散-反应 PDE。
引用
@article{arxiv.2406.01539,
title = {Physics-informed deep learning and compressive collocation for high-dimensional diffusion-reaction equations: practical existence theory and numerics},
author = {Simone Brugiapaglia and Nick Dexter and Samir Karam and Weiqi Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.01539},
year = {2025}
}