基于卷积自编码器的降阶模型的实用存在性定理

近年来，深度学习在偏微分方程和降阶建模领域日益普及，为领域从业者提供了强大的新型数据驱动技术，如物理信息神经网络、神经算子、深度算子网络和基于深度学习的降阶模型。在此背景下，基于卷积神经网络（CNN）的深度自编码器已被证明极为有效，在处理复杂非线性问题时优于既定技术（如降阶基方法）。然而，尽管基于 CNN 的自编码器在经验上取得了成功，但支持这些架构的理论结果却寥寥无几，通常以万能逼近定理的形式给出。具体而言，尽管现有文献为设计卷积自编码器提供了指导原则，但随后学习潜在特征的挑战却鲜有研究。此外，许多实际问题仍未得到解答，例如收敛所需的快照数量或神经网络训练策略。在本工作中，利用稀疏高维函数逼近的最新技术，我们在参数到解的映射为全纯时，为基于 CNN 的自编码器提供了一个新的实用存在性定理，从而填补了其中的一些空白。这一正则性假设出现在许多相关的参数化偏微分方程类别中，例如参数化扩散方程，我们讨论了其一般理论的显式应用。