倍增度量的近等距终端嵌入

给定度量空间 $(X,d)$、终端集合 $K\subseteq X$ 与参数 $t\ge 1$，我们考虑度量结构（如 spanner、距离预言、到赋范空间的嵌入），其以至多 $t$ 的因子保持 $K\times X$ 中所有对的距离，且具小尺寸（如 spanner 的边数、嵌入的维数）。尽管此类终端（亦称 source-wise）度量结构在若干设定下已知存在，目前尚无失真接近 1 的终端 spanner 或嵌入，即 $t=1+\epsilon$（对某小的 $0<\epsilon<1$）。此处我们为倍增度量设计了此类终端度量结构，并表明本质上任何失真 $1+\epsilon$、尺寸 $s(|X|)$ 的度量结构都有其终端对应物，失真 $1+O(\epsilon)$、尺寸 $s(|K|)+1$。特别地，对 $n$ 个点的任意倍增度量、 $k=o(n)$ 个终端的集合与常数 $0<\epsilon<1$，存在：(1) 对 $K\times X$ 中成对拉伸 $1+\epsilon$ 的 spanner，具 $n+o(n)$ 条边。(2) 对 $K\times X$ 中成对拉伸 $1+\epsilon$ 的标号方案，标号大小 $\approx \log k$。(3) 到 $\ell_\infty^d$ 中对 $K\times X$ 中成对失真 $1+\epsilon$ 的嵌入，其中 $d=O(\log k)$。此外令人惊讶的是，后两个结果在仅 $K$ 为倍增度量而 $X$ 可为任意时亦适用。