三元组、终端与 Top-k 最近邻对比嵌入的维度-精度权衡

度量嵌入传统上研究如何将 $n$ 个项映射到目标度量空间，使得距离长度不被严重扭曲；但如果我们只关心保持距离的相对顺序（而不是其长度）呢？在本文中，我们的动机源于以下基本问题：给定形如“项 $i$ 比项 $k$ 更接近项 $j$”的三元组比较，我们能否找到尊重这些距离比较的 $n$ 个项的低维欧几里得表示？这种保序嵌入在重要应用中自然出现，并自 20 世纪 50 年代以来以序数或非度量嵌入的名义被研究。我们的主要结果是：1. 三元组维度的近紧界：我们引入了数据集三元组维度的自然概念，并令人惊讶地表明，为了使序数嵌入保持三元组，其维度在最坏情况下需要增长 $\frac n2$。这是最优的（相差常数），因为 $n-1$ 维总是足够的。2. 维度与（序数）松弛的权衡：然后我们放宽每个三元组都应被精确保持的要求，并给出了距离相对顺序被嵌入反转的最大比率的几乎紧下界；该比率在文献中被称为（序数）松弛，并作为（度量）扭曲的对应物。3. 终端和 Top-$k$-NNs 嵌入的新界：超越三元组，我们接着研究了两个动机明确的场景，在这些场景中我们关心保持特定的距离集合（不一定是三元组）。第一个场景是终端序数嵌入，第二个场景是 Top-$k$-NNs 序数嵌入。据我们所知，这些是关于保三元组序数嵌入的一些首批权衡，也是对终端和 Top-$k$-NNs 序数嵌入的首次研究。