近临界偏好连接网络具有小的巨分支

已知幂律指数 $\tau>3$ 的偏好连接网络呈现相变。存在一临界值 $\rho_{\rm c}>0$，使得对于小的边密度 $\rho\leq \rho_c$，图的每个分支所含顶点比例渐近消失；而对于大的边密度 $\rho>\rho_c$，存在唯一的巨分支包含渐近正比例的顶点。本文研究当边密度从上方逼近临界值时巨分支大小的衰减。我们证明该大小衰减极快，如 $\exp(-c/ \sqrt{\rho-\rho_c})$ 般，其中显式常数 $c>0$ 依赖于模型实现。该结果不同于无标度网络的一类秩一模型（包括配置模型）中的多项式衰减行为。我们的证明依赖于 [Dereich, Morters, 2013] 的局部邻域近似以及分支随机游走理论的最新进展 [Gantert, Hu, Shi, 2011]。