$G_{(n,m)}$ 的近自同构

设 $G$ 为顶点集 $V(G)$ 的图，$f$ 为 $V(G)$ 的一个置换。定义 $\delta_f(G)=|d(x,y)-d(f(x),f(y))|$ 且 $\delta_f(G)=\Sigma\delta_f(x,y)$，其中求和取遍 $G$ 的所有不同顶点无序对 $x$, $y$。$\delta_f(x,U)=\Sigma\delta_f(x,y)$，其中 $U\subseteq V(G)$ 且 $y\in U$。令 $\pi(G)$ 表示在所有 $V(G)$ 的置换中 $\delta_f(G)$ 的最小正值。满足 $\delta_f(G)=\pi(G)$ 的置换 $f$ 称为 $G$ 的近自同构\cite{HV}。本文中，我们定义 $G_{(n,m)}$ 为从 $K_n$ 通过在 $K_n$ 的顶点 $y_i$（$i=1,\cdots,m$）上添加 $t_i$ 个悬挂点得到的图，并称 $y_i$ 为 $G_{(n,m)}$ 的 c-悬挂顶点。我们确定了 $\pi(G_{(n,m)})$ 并刻画了满足 $\pi(G_{(n,m)})=\delta_f(G_{(n,m)})$ 的 $G_{(n,m)}$ 的置换 $f$。由于 $G_{(1,1)}$ 为星图且情形平凡，故设 $n\geq 2$。设 $G_{(n,m)}$ 有 $m$ 个 c-悬挂顶点 $\{y_1, \ldots, y_m\}$，且 $y_i$ 有 $t_i$ 个悬挂点（$1\leq t_1\leq t_2\leq \ldots \leq t_m$）。当 $m<n$ 时，$$\n\pi(G_{(n,m)})= \left\{ \begin{array}{lc} 2n-4 & n \leq t_1+2, m=1 \cr 2t_1&otherwise \end{array} \right.$$\n当 $m=n$ 时，$$\n\pi(G_{(n,n)})= \left\{ \begin{array}{lc} 4 & t_1=1,t_2=2 \cr 2t_1+2t_2&otherwise \end{array} \right.$$