Mustafin簇、模空间与热带几何

Mustafin簇是射影空间的平坦退化，由在非阿基米德域上的向量空间中选择一个 $n-$tuple 的格而产生。它们由Mustafin在70年代引入，旨在将Mumford关于曲线均匀化（unformisation）的开创性工作推广到更高维。这些簇具有丰富的组合结构，正如Cartwright、H"abich、Sturmfels和Werner的开创性工作所示。本文中，我们引入一种基于有理映射像的Mustafin簇新方法，该方法由Li研究过。应用热带交集理论和热带凸包计算，我们使用此方法给出Mustafin簇特殊纤维不可约分量的新组合描述。这使得与各种主题建立联系成为可能。特别地，我们看到任何多视点簇（multiview variety）都作为某个Mustafin簇特殊纤维的不可约分量出现。此外，我们利用Faltings引入的将Mustafin簇解释为模函子（moduli functor），将其与某些称为关联格拉斯曼流形（linked Grassmannians）的模函子相关联。这些对象在极限线性级数理论中引人注目。关于关联格拉斯曼流形的研究焦点是所谓的简单点（simple points）。作为Mustafin簇新组合描述的直接结果，我们证明关联格拉斯曼流形的简单点在每根纤维中稠密。最后，我们利用与关联格拉斯曼流形的联系，将Mustafin簇的特殊纤维与酉志村簇（unitary Shimura varieties）的某些局部模型相关联。