基于欧拉n重Hopf奇点分岔控制的乐音音色调制
动力系统
2022-05-27 v1
摘要
音乐中声音的本质在于其定性类型的演化，而在数学中我们将每一次定性变化解释为分岔。Hopf分岔是产生任意频率信号的重要途径。因此，通过分岔控制理论研究乐音早已是自然而亟待填补的贡献。本文通过谱包络与时间包络的动力学建模来处理声音的音色问题。将一个音符的多个主导谐波分音（模一个听觉声速阈值）归入具有n重Hopf奇点的欧拉微分系统。随后，通过该微分系统的分岔控制，在一组连续时间间隔上模拟时间包络的定性演化。例如，我们将所提方法应用于钢琴与小提琴的C#4音频文件。利用傅里叶分析生成振幅谱向量。接着，我们将每个振幅谱向量关联到一个欧拉流不变叶。分岔控制足以精确构造乐音所需的谱包络与振幅包络。这些对应于欧拉微分系统涉及Clifford环面流形的丰富分岔情景。为降低技术性，我们采用若干约化技巧并使用一个分岔参数。我们展示了钢琴或小提琴演奏的C#4的不同有序基本分岔集（如叉形分岔与（双重）鞍结分岔）如何与其定性时间包络变化相关联。在小提琴演奏的C#4时间包络分岔中观察到一个完整的滞后型循环。
引用
@article{arxiv.2009.03446,
title = {Musical tone coloring via bifurcation control of Eulerian n-tuple Hopf singularities},
author = {Majid Gazor and Ahmad Shoghi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.03446},
year = {2022}
}