源自 Sabot-Tarrès-Zeng 积分的多元倒逆高斯分布

在 Sabot 与 Tarrès (2015) 中，作者显式计算了积分 $$STZ_n=\int \exp( -\langle x,y\rangle)(\det M_x)^{-1/2}dx$$，其中 $M_x$ 为 $n$ 阶对称矩阵，其非对角系数固定为非正数，对角元为 $(2x_1,\ldots,2x_n)$。积分区域为 $\mathbb{R}^n$ 中使 $M_x$ 正定的部分。我们更一般地针对 $b_1\geq 0,\ldots b_n\geq 0$ 计算了积分 $$GSTZ_n=\int \exp \left(-\langle x,y\rangle-\frac{1}{2}b^*M_x^{-1}b\right)(\det M_x)^{-1/2}dx,$$ 并证明它引出了 $\mathbb{R}^n$ 中一个自然的概率分布族，称为 $GSTZ_n$ 概率律。该族在边缘化与条件化下稳定，且拥有许多性质，这些性质是单变量倒逆高斯分布常见性质的多元版本。我们还证明，若以顶点集 $V=\{1,\ldots,n\}$ 与边集 $E$（由 $M_x$ 非零元对应的 $\{i,j\}$ 组成）为图的图是一棵树，则对于 $q>0$ 的积分 $$\int \exp( -\langle x,y\rangle)(\det M_x)^{q-1}dx$$ 可用 MacDonald 函数 $K_q$ 计算。