解析函数在向量场轨迹上零点的重数
复变函数
2016-09-07 v1
摘要
设 P(x) 为 C^n 中原点处解析函数的芽，其中 x = (x_1,..., x_n)，并设 \xi = \xi_1(x) d/dx_1 + ... + \xi_n(x) d/dx_n 为原点处解析向量场的芽。假设 \xi(0) != 0，并设 \gamma 为 \xi 过原点的轨迹。假设 P|_\gamma /\equiv 0，并设 \mu(P|_\gamma) 为 P|_\gamma 在原点处零点的重数。令 \xi P = \xi_1 dP/dx_1 + ... + \xi_n dP/dx_n 为 P 沿 \xi 方向的导数，并令 \xi^kP 为该导数的第 k 次迭代。我们给出用由 P, \xi P, ..., \xi^{n-1}P 的形变所定义的 Milnor 纤维的欧拉特征来表示 \mu(P|_\gamma) 的公式（定理 1）。对于次数为 p 的多项式 P 和具有次数为 q 的多项式系数的向量场 \xi，这允许人们以纯代数项计算 \mu(P|_\gamma)（定理 2），并给出用 n, p, q 表示的 \mu(P|_\gamma) 的估计（定理 3），该估计在 n 上是指数、在 p 和 q 上是多项式。此估计改进了先前在 n 上双重指数的结果。
引用
@article{arxiv.math/9702229,
title = {Multiplicity of a zero of an analytic function on a trajectory of a vector field},
author = {Andrei Gabrielov},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9702229},
year = {2016}
}