阿贝尔群作用下的多重递推与大交集

本文旨在可数阿贝尔群保测度作用的多重递推框架下研究大交集现象。除其他结果外，我们证明：(1) 若$G$为可数阿贝尔群，$\varphi, \psi : G \to G$为同态，且$\varphi(G)$、$\psi(G)$与$(\psi - \varphi)(G)$在$G$中指数为有限，则对每個遍历保测度系统$(X, \mathcal{B}, \mu, (T_g)_{g \in G})$、每個集合$A \in \mathcal{B}$及每個$\varepsilon > 0$，集合$\{g \in G : \mu(A \cap T_{\varphi(g)}^{-1}A \cap T_{\psi(g)}^{-1}A) > \mu(A)^3 - \varepsilon\}$是 syndetic 的。(2) 若$G$为可数阿贝尔群，$r,s \in \mathbb{Z}$为整数使得$rG$、$sG$与$(r \pm s)G$在$G$中指数为有限，则对每個遍历保测度系统$(X, \mathcal{B}, \mu, (T_g)_{g \in G})$、每個集合$A \in \mathcal{B}$及每個$\varepsilon > 0$，集合$\{g \in G : \mu(A \cap T_{rg}^{-1}A \cap T_{sg}^{-1}A \cap T_{(r+s)g}^{-1}A) > \mu(A)^4 - \varepsilon\}$是 syndetic 的。特别地，这些结果扩展并推广了 Bergelson、Host 和 Kra 关于$\mathbb{Z}$-作用以及 Bergelson、Tao 和 Ziegler 关于$\mathbb{F}_p^{\infty}$-作用的结果。利用 Furstenberg 对应原理的遍历版本，我们获得了新的组合应用。我们还讨论了众多例子以阐明上述各种假设的必要性。我们的结果引出了若干有趣的问题与猜想，已在引言及文末提出。