三角形的多重格点堆积与覆盖

给定一个凸盘 $K$ 和一个正整数 $j$，令 $\delta_L^j(K)$ 和 $\vartheta_L^j(K)$ 分别表示 $K$ 的 $j$ 重格点堆积密度和 $j$ 重格点覆盖密度。我将证明，对于每个三角形 $T$，我们有 $\delta_L^j(T)=\frac{2j^2}{2j+1}$ 且 $\vartheta_L^j(T)=\frac{2j+1}{2}$。此外，我还得出达到这些密度的格点数量均为 $(2j+1)\prod_{p|2j+1}(1-\frac{2}{p})$，其中乘积遍历整除 $2j+1$ 的不同素数。