光滑格覆盖密度的界
数论
2023-11-09 v1 信息论
math.IT
摘要
设 K 为 R^n 中的凸体，L 为协体积为 1 的格，η>0。若每个点 x ∈ R^n 被 L 平移 K 的 (1 ± η) vol(K) 个副本所覆盖，则称 K 与 L 构成 η-光滑覆盖。我们证明对任意正的 σ, η，当 n → ∞ 渐近时，对任意体积为 n^{3+σ} 的 K，可找到格 L 使得 L, K 构成 η-光滑覆盖。此外，依据格空间上的 Haar-Siegel 测度随机选取的格以高概率满足此性质。类似结果对随机构造 A 格亦成立，尽管幂律更差，只要 Z^n 相对于 K 的覆盖半径与填充半径之比至多为 n 的多项式。我们的证明依赖于 Dhar 与 Dvir 近期在离散 Kakeya 问题上的突破。
引用
@article{arxiv.2311.04644,
title = {Bounds on the density of smooth lattice coverings},
author = {Or Ordentlich and Oded Regev and Barak Weiss},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.04644},
year = {2023}
}