超立方体中的多包装

对于无向图 $G$，其支配性广播定义为函数 $f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$，满足对任意顶点 $u \in V(G)$，存在顶点 $v \in V(G)$ 使得 $f(v) \geqslant 1$ 且 $d(u,v) \leqslant f(v)$。函数 $f$ 的代价为 $\sum_{v \in V} f(v)$。所有支配性广播中的最小代价定义为图 $G$ 的广播支配数 $\gamma_b(G)$。图 $G$ 的多包装为子集 $M \subseteq V(G)$，满足对任意顶点 $v \in V(G)$ 和任意正整数 $r$，距离 $v$ 为 $r$ 的顶点数至多为 $r$。图 $G$ 的多包装数记作 $\operatorname{mp}(G)$，为图中多包装的最大基数。这两种优化问题互为对偶，且易得 $\operatorname{mp}(G) \leqslant \gamma_b(G)$。已知 $\gamma_b(G) \leqslant 2\operatorname{mp}(G)+3$，并 conjectures $\gamma_b(G) \leqslant 2\operatorname{mp}(G)$。本文证明对于 $n$ 维超立方体 $Q_n$ 有 $$\left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor \leqslant \operatorname{mp}(Q_n) \leqslant \frac{n}{2} + 6\sqrt{2n}.$$ 由于 $\gamma_b(Q_n) = n-1$ 当 $n \geqslant 3$ 时成立，这验证了上述猜想在超立方体上的情况，并且更有趣的是，给出了一系列连通图，其中比值 $\frac{\gamma_b(G)}{\operatorname{mp}(G)}$ 趋向于 2，Beaudou、Brewster 和 Foucaud 于 2018 年首次提出此搜索。因此，对连通图 $G$ 有 $$\limsup_{\operatorname{mp}(G) \rightarrow \infty} \left\{\frac{\gamma_b(G)}{\operatorname{mp}(G)}\right\} = 2.$$ 下界通过递归构造建立，上界则基于不平凡理论中的经典结果建立。