多维Lambert-Euler反函数与向量乘性聚结过程

本文证明了多维Lambert-Euler反函数（Lambert W函数 $W_0(x)$ 的 $[-e^{-1},0)$ 分支的多维推广）极小解的存在性。具体地，对给定的非负不可约对称矩阵 $V \in \mathbb{R}^{k \times k}$，我们证明对 ${\bf u}\in(0,\infty)^k$，若方程 $$y_j \exp\{-{\bf e}_j^T V {\bf y} \} = u_j ~~~~~~\forall j=1,...,k,$$ 至少有一个解，则它必有一个极小解 ${\bf y}^*$，其中极小值在所有坐标 $y_j$ 上同时取得。此外，该 ${\bf y}^*$ 是满足 $\rho\left(V D[y^*_j] \right) \leq 1$ 的唯一解，其中 $D[y^*_j]={\sf diag}(y_j^*)$ 是以 $y^*_j$ 为对角元的对角矩阵，$\rho$ 表示谱半径。我们的主要应用在于向量乘性聚结过程。这是一种具有 $k$ 类粒子和向量值权重的聚结过程，初始有 $\alpha_1n+...+\alpha_k n$ 个粒子按类型划分为各自规模，其中权重为 ${\bf x}$ 和 ${\bf y}$ 的两个团簇以速率 $({\bf x}^{\sf T} V {\bf y})/n$ 合并。我们利用组合学求解相应的修正Smoluchowski方程（作为 $n \to \infty$ 时向量乘性聚结过程的流体动力学极限得到），并借助多维Lambert-Euler反函数确立凝胶化并给出凝胶化时间的闭式表达。我们还找到了配备随机边权的一类广泛图的最小生成树渐近长度。