$L_1$ 和 $L_{\infty}$ 度量下的多维 $\beta$-骨架

点集 V 的 $\beta$-骨架 $\{G_{\beta}(V)\}$ 是一族几何图，由实数参数 $0 < \beta < \infty$ 所定义的邻域概念来定义。通过使用 $\beta$-骨架的基于距离的版本定义，我们研究了在具有 $l_1$ 和 $l_{\infty}$ 度量的 $\mathbb{R}^d$ 空间中点集的这些图。我们给出了适用于整个 $\beta$ 值谱的算法，并讨论了在这些度量下基于透镜和基于圆的 $\beta$-骨架的性质。设 $V \in \mathbb{R}^d$ 在 $L_{\infty}$ 度量下为处于一般位置的 $n$ 个点的集合。那么，对于 $\beta<2$，基于透镜的 $\beta$-骨架 $G_{\beta}(V)$ 可以在 $O(n^2 \log^d n)$ 时间内计算。对于 $\beta \geq 2$，存在一个 $O(n \log^{d-1} n)$ 时间的算法来为该点集 $V$ 构造 $\beta$-骨架。我们证明，在具有 $L_{\infty}$ 度量的 $\mathbb{R}^d$ 中，对于 $\beta<2$，$n$ 个点的 $\beta$-骨架 $G_{\beta}(V)$ 可以在 $O(n^2 \log^d n)$ 时间内计算。对于 $\beta \geq 2$，存在一个 $O(n \log^{d-1} n)$ 时间的算法。在具有 $L_1$ 度量的 $\mathbb{R}^d$ 中，对于处于任意位置的 $n$ 个点的集合，$\beta$-骨架 $G_{\beta}(V)$ 可以在 $O(n^2 \log^{d+2} n)$ 时间内计算。