基于 $XY$ 嵌入的多重网格 Monte Carlo I. 一般理论与二维 $O(N)$ 对称非线性 $\sigma$ 模型

我们引入了一种多重网格 Monte Carlo (MGMC) 方法的变体，基于将 $XY$ 模型嵌入目标模型，并研究了其在多种非线性 $\sigma$ 模型上的数学性质。然后我们将该方法应用于 $N=3,4,8$ 的二维 $O(N)$ 对称非线性 $\sigma$ 模型（亦称 $N$ 矢量模型），并研究其动态临界行为。使用最大 $256 \times 256$ 的格点，我们发现对于 $N=3,4,8$，动态临界指数分别为 $z_{int,{\cal M}^2} \approx 0.70 \pm 0.08$、$0.60 \pm 0.07$、$0.52 \pm 0.10$（主观 68% 置信区间）。因此，对于这些渐近自由模型，与局部算法相比临界慢化被大大降低，但并未完全消除；且动态临界指数显然随 $N$ 变化。我们还使用有限尺寸标度外推方法分析了 $N=8$ 的静态数据。在 $12 < \xi < 650$ 区间内，关联长度 $\xi$ 与四圈渐近自由预测的一致性在 $\approx 1\%$ 以内。