求解变阶非线性分数阶微分方程的多元谱配置法

采用 Galerkin 型公式的谱与谱元方法在求解常阶线性分数阶偏微分方程（FPDE）时高效，但在求解非线性 FPDE 及无法处理变阶 FPDE 时低效。本文提出一种多元谱配置法以克服这些局限。我们考虑 Riemann-Liouville 意义下的 FPDE，并采用 Jacobi Lagrangian 插值基函数在各单元中表示解。我们给出变阶微分公式，其可针对多元离散高效计算并考虑非局部相互作用。我们通过 Lagrangian 插值基函数匹配单元边界处的解值来强制界面连续性条件，此外采用惩罚法最小化（整数）通量的跳跃。我们从数值上分析了惩罚参数对全局微分矩阵条件数及惩罚配置格式稳定性与收敛性的影响。我们利用 $h-p$ 加密针对不同惩罚参数值，对常阶与变阶分数阶 Helmholtz 方程证明了新方法的有效性。我们还求解了常阶与变阶分数阶 Burgers 方程，并与单域谱配置法所得解进行比较。