一类变分不等式的 Mortensen 观测器——与随机滤波方法等价性的丧失

我们研究由变分不等式支配的 $\mathbb{R}$ 中非光滑动力学的确定性序贯估计问题，其典型例子为在 0 处具有反射边界条件的 Skorokhod 问题。对于光滑动力学，Mortensen 引入了这样一种能量：在有限时间间隔内，状态变量在扰动作用下产生给定观测，并在终时刻达到给定目标状态的可能性的度量。Mortensen 观测器是该能量的极小化子。对于由变分不等式给出因而不可时间反演的动力学，我们研究 Mortensen 估计量的定义。一方面，我们通过松弛合成变量的边界约束，提出一种利用所得非线性光滑动力学的 Mortensen 估计量近似变体。另一方面，受光滑动力学方法启发，我们研究鲁棒 Zakai 方程解的 Hopf-Cole 变换所满足的 Hamilton-Jacobi 方程在黏性消失极限下的行为。我们证明了一个稳定性结果，使得我们可以将极限解解释为与控制问题而非估计问题相关联的值函数。与光滑动力学情形不同，此处鲁棒 Zakai 方程在零噪声极限下无法由 Mortensen 确定性估计中出现的 Bellman 方程理解。这或许揭示了对于非光滑动力学，在非可逆动力学下 Mortensen 方法与低噪声随机方法之间等价性的破坏。