函数的单调性及其 Caputo 导数的变号

众所周知，连续可微函数在区间 $[a,b]$ 上单调当且仅当其在此区间内一阶导数不变号。我们证明，这等价于要求该函数的以 $a$ 为起点的一切阶 $\alpha \in (0,1)$ 的 Caputo 导数在该区间内均不变号。与偶尔的猜想相反，仅当 Caputo 导数对少数几个 $\alpha \in (0,1)$ 取值具有恒定符号是不够的。