McKean-Vlasov过程的单调凸序

本文在滤概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_{t})_{t\geq0}, \mathbb{P})$上建立了两个$\mathbb{R}$值McKean-Vlasov过程$X=(X_t)_{t\in [0, T]}$与$Y=(Y_t)_{t\in [0, T]}$之间的单调凸序，其定义为\n\begin{align}\n&dX_{t}=b(t, X_{t}, \mu_{t})dt+\sigma(t, X_{t}, \mu_{t})dB_{t}, \quad X_{0}\in L^{p}(\mathbb{P})\; \text{with}\; p\geq 2,\nonumber\\\n&dY_{t}=\beta(t, Y_{t}, \nu_{t})dt+\theta(t, \,Y_{t}, \nu_{t})\,dB_{t}, \,\quad Y_{0}\in L^{p}(\mathbb{P}), \nonumber\n\end{align}\n其中$\forall\, t\in [0, T],\: \mu_{t}=\mathbb{P}\circ X_{t}^{-1}, \:\nu_{t}=\mathbb{P}\circ Y_{t}^{-1}$。若仅对$b$与$|\sigma|$作凸性与单调性假设，且$b\leq \beta$、$|\sigma|\leq |\theta|$，则初值随机变量$X_0\preceq_{\,\text{mcv}} Y_0$的单调凸序可传播至过程$X$与$Y$的整条路径。即，若考虑路径空间上具多项式增长的非减凸泛函$F$，有$\mathbb{E}\, F(X)\leq \mathbb{E}\, F(Y)$；对于定义在含路径空间及其边缘分布空间的乘积空间上的非减凸泛函$G$，在适当条件下有$\mathbb{E}\, G(X, (\mu_{t})_{t\in [0, T]})\leq \mathbb{E}\, G(Y, (\nu_{t})_{t\in [0, T]})$。对称情形亦成立，即若$Y_0\preceq_{\,\text{mcv}} X_0$且$|\theta|\leq |\sigma|$，则$\mathbb{E}\, F(Y)\leq \mathbb{E}\, F(X)$且$\mathbb{E}\, G(Y, (\nu_{t})_{t\in [0, T]})\leq \mathbb{E}\, G(X, (\mu_{t})_{t\in [0, T]})$。证明基于若干前向与后向动态规划原理以及McKean-Vlasov方程截断Euler格式的收敛性。