Veronese 簇的单式投影：新结果与猜想

在本文中，我们考虑 Veronese 簇的单式投影 $Y_{n,d}$ 的齐次坐标环 $A(Y_{n,d}) \cong \mathbb{K}[\Omega_{n,d}]$，这些投影由 $n+1$ 个变量中 $d$ 次单项式子集 $\Omega_{n,d}$ 参数化，其中：(1) $\Omega_{n,d}$ 包含所有至多支撑于 $s$ 个变量上的单项式，且 (2) $\Omega_{n,d}$ 是阶为 $d$ 的有限对角阿贝尔群 $G \subset GL(n+1,\mathbb{K})$ 的单项式不变量集合。我们的目标是研究 $\mathbb{K}[\Omega_{n,d}]$ 何时为二次代数，若是，则 $\mathbb{K}[\Omega_{n,d}]$ 何时为 Koszul 或 G-二次的。对族 (1)，我们证明当 $s \ge \lceil \frac{n+2}{2} \rceil$ 时 $\mathbb{K}[\Omega_{n,d}]$ 为二次代数。对族 (2)，我们完全刻画了 $\mathbb{K}[\Omega_{2,d}]$ 相对于群 $G \subset GL(3,\mathbb{K})$ 为二次代数的条件，并证明 $\mathbb{K}[\Omega_{2,d}]$ 为二次代数当且仅当其为 Koszul。我们还提供了大量 $\mathbb{K}[\Omega_{n,d}]$ 为 G-二次的例族。