Winger铅笔曲线的单值性与周期映射

在射影平面上在二十面体群的标准作用下不变的三次平面曲线构成一族亏格为十的曲线铅笔（由六条直线之和与三次一条二次曲线张成）。该铅笔最早由 R.~M.~Winger 在 1925 年的一篇笔记中考虑，现今以其名字命名。第二作者近期对其作了现代处理，并证明了其中本质上包含了所有具有二十面体对称性的光滑亏格十曲线等结果。我们在此证明此类曲线的雅可比包含一条椭圆曲线与二十面体群的某一整表示张量积。我们发现该椭圆曲线带有一个 3 阶特异点，证明该同调部分上的单值性是全同余子群 $\Gamma_1(3)\subset \SL_2(\Zds)$，并随后将该铅笔的基等同于相应的模曲线。我们还观察到 Winger 铅笔‘解释’了 Bring 曲线的雅可比作为具有二十面体群作用的主阿贝尔四维簇的形变。