对数凹概率测度的 Cramér 变换的矩

设 $\mu$ 为 ${\mathbb R}^n$ 上以原点为中心的对数凹概率测度,令 $\Lambda_{\mu}^{\ast}$ 表示 $\mu$ 的 Cramér 变换,即 $\Lambda_{\mu}^{\ast}(x)=\sup\{\langle x,\xi\rangle-\Lambda_{\mu}(\xi):\xi\in\mathbb{R}^n\}$,其中 $\Lambda_{\mu}$ 为 $\mu$ 的对数 Laplace 变换。我们证明 $\mathbb{E}_{\mu}\left[\exp\left(\frac{c_1}{n}\Lambda_{\mu}^{\ast }\right)\right]<\infty$,其中 $c_1>0$ 为绝对常数。特别地,$\Lambda_{\mu}^{\ast}$ 具有所有阶的有限矩。该证明基于对与 $\mu$ 相关的一族凸体的比较,由此可得 $\|\Lambda_{\mu}^{\ast}\|_{L^2(\mu)}\leqslant c_2n\ln n$。欧几里得球上均匀分布的例子表明,随着维数 $n$ 趋于无穷,该估计关于 $n$ 是最优的。