量子顶点代数的无穷远模

本文是研究源自量子仿射代数和 Yangian 等各种代数的类顶点代数结构的系列论文\cite{li-qva1}和\cite{li-qva2}的续篇。在本文中，我们研究了双 Yangian $DY_{\hbar}(sl_{2})$的两个版本，分别记为$DY_{q}(sl_{2})$和$DY_{q}^{\infty}(sl_{2})$，其中$q$为非零复数。对于每个非零复数$q$，我们构造了一个量子顶点代数$V_{q}$，并证明了每个$DY_{q}(sl_{2})$-模自然地是一个$V_{q}$-模。我们还表明，$DY_{q}^{\infty}(sl_{2})$-模即为我们所称的$V_{q}$-无穷远模。为实现这一目标，我们研究了任意向量空间$W$的$\Hom (W,W((x^{-1})))$中所谓的$\S$-局部子集和拟局部子集，并证明了任何$\S$-局部子集生成一个（弱）量子顶点代数，而任何拟局部子集生成一个以$W$为（左）拟无穷远模的顶点代数。利用这一结果，我们通过拟无穷远模将圆上的伪微分算子李代数与顶点代数联系起来。