$S^1 \times S^3$ 上的模不变性与圆纤维化

我猜想定义在如 $S^3$ 及其透镜空间族等圆纤维化上的共形场论存在高温/低温对偶性。该对偶性是在两者均趋于微小的极限下，热圆与纤维圆之间的交换。这一猜想的动机在于 $\pi_1(S^3/\mathbb{Z}_{p\rightarrow \infty})=\mathbb{Z}=\pi_1(S^1\times S^2)$，且 $S^3/\mathbb{Z}_{p\rightarrow \infty}$ 与 $S^1/\mathbb{Z}_{p\rightarrow \infty} \times S^2$ 之间的 Gromov-Hausdorff 距离为零。我们提供了对该猜想的若干检验：自由场、四维 $\mathcal{N}=1$ 理论（表明 Di Pietro-Komargodski 超对称 Cardy 公式及其推广恰好由超对称 Casimir 能量给出）、强耦合下的 $\mathcal{N}=4$ 超杨 - 米尔斯理论，以及六维 $\mathcal{N}=(2,0)$ 理论。对于所有考虑的示例，该对偶性足以控制未透镜化 $S^3$ 上的高温渐近行为，并将其与高度透镜化 $S^3$ 上的 Casimir 能量联系起来。