基于显式与隐式格式的压裂建模现代理论

本文给出了基于修正水力压裂（HF）理论获得的新结果。该理论强调了速度方程的重要性。应用于 HF 数值模拟时，该理论揭示了三个不同问题：（i）HF 中心部分的建模；（ii）近前缘区的建模；（iii）追踪裂缝轮廓形状的变化。中心部分建模导致时间上刚性的常微分方程组，极大增加了积分难度。对于显式格式，需小时间步以满足 CFL 条件；对于隐式格式，需适当的预条件子。文中讨论了两种策略的优劣。指出中心部分可使用较粗的空间网格。近前缘区建模揭示了速度方程对任何方法 HF 建模的关键作用。其渐近分析得出了通用渐近伞这一基本概念。对于近前缘区，还确定紧邻前缘的显著部分几乎作为简单波传播，这意味着该区的 CFL 稳定性条件远比裂缝中心部分宽松。同样本质的是，近前缘区的波状传播使得迎风时间步进格式更可取。总体而言，分析表明显式时间步进可补充、竞争甚至优于隐式积分。追踪前缘形状变化仅出现在轮廓变形的三维问题中。该问题本质为几何问题，可用多种方法单独求解，包括快速行进、水平集及最简单的弦/标记方法。在一维情况下则完全不出现。定量估计与数值算例阐释了理论结论。