项代数模型论论述回顾

本文基于马尔特夫（Maltsev）关于有限纯函数语言中局部自由代数的工作，重新审视了（绝对自由）项代数的模型论。马尔特夫的分析提供了自然的公理化，以及对正布尔组合式特殊公式的量子消除。我们表明，完全可扩展的参数恰好由个数$k\in\{0,1,\dots,\omega\}$所决定；对于$1\le k\le\omega$，标准模型是$k$生成元上的自由项代数。我们给出一种无需量子消除的完备性证明，采用埃尔根费赫-弗拉塞尔博弈（Ehrenfeucht-Fraïssé games），并进一步建立了标准模型与理论的若干结构性质。特别是，对$1\le k\le\omega$，我们证明了标准模型的一阶刚性与原子性。对于每一个$0\le k\le\omega$，我们证明相应理论不具备有限覆盖属性且弱消除想象。我们还提供了贝莱格拉德克（Belegradek）先前取得的稳定性理论特征的新证明：这些理论是稳定的但非超稳定的，规范的（因此是1-基于的），且具有平凡的分支；因此，不存在任何无限群可在任意模型中可解释。最后，我们分析了模型完备性，证明$T_0$是局部自由代数理论的模型伴随理论，而$k\ge 1$的理论则不具备模型完备性。