圆上一般简单对称随机游动的混合性

固定一个无理数 $\alpha$ 和圆上的一个实函数 $\mathfrak{p}$,满足 $0<\mathfrak{p}<1$。若将粒子置于点 $x\in \mathbb R/\mathbb Z$,则下一步它以概率 $\mathfrak{p}(x)$ 跳到 $x+\alpha$,以概率 $1-\mathfrak{p}(x)$ 跳到 $x-\alpha$。Sinai 和 Kaloshin 证明了若 $\mathfrak{p}$ 光滑,则随机游动是唯一遍历且混合的,除非 $\alpha$ 是刘维尔数且 $\mathfrak{p}$ 对称。一般情形下的唯一遍历性已由 Conze 和 Guivarc'h 得到。此处我们给出后者的另一种证明,以及一些关于混合性的一般性结果,部分解决了一个近期公开问题。