混合基数记数法：霍纳规则、杨-巴克斯特方程与Furstenberg猜想

混合基数在记数法中是一个非常古老的概念，但很少单独研究或与数论相关的具体问题联系起来。从整数和多项式的基数转换这一自然问题出发，我们使用混合基数引入具有适当填充规则的二维数组。这些数组提供了转换算法，仅使用有限次数的欧几里得除法即可从一种基数转换为另一种基数；值得注意的是，这些算法是著名的多项式快速求值霍纳规则的推广。具有局部变换的二维数组让人联想到统计力学模型：我们证明三个记数基数之间的变换与集合论杨-巴克斯特方程有关，据我们所知，这是首次在数论中描述这种结构。作为说明，我们重新解释了关于Furstenberg猜想的著名结果，将其转化为混合基数之间的杨-巴克斯特变换，从而为替代方法开辟了道路。