Banach 空间球面上在可数多点保持局部几何的重新赋范及其应用

我们开发了通过归纳过程在Banach空间球面中无穷多个点周围生成具有特定局部几何的等价范数的工具。我们将此过程与光滑性结果及技术相结合，解决了最近出版的专著[GMZ22]（A. J. Guirao、V. Montesinos与V. Zizler著）中提出的两个公开问题。具体而言，一方面，我们在每个容许 $C^k$-光滑范数的可分Banach空间中构造一个等价范数，它是 $C^k$-光滑的，但在任何方向上均非一致G\^ateaux可微；另一方面，我们在任意无限 $\Gamma$ 的 $c_0(\Gamma)$ 中生成一个 $C^\infty$-光滑范数，其单位球是可凹的，但其球面缺乏任何极值点。