时间分数阶常微分方程数值解的 Mittag-Leffler 稳定性

线性齐次 Caputo 时间分数阶常微分方程（F-ODEs）解的渐近稳定区域与长时间衰减率已知完全由系数矩阵的特征值决定。与经典 ODEs 解的指数衰减截然不同，F-ODEs 的解仅呈多项式衰减，导致所谓的 Mittag-Leffler 稳定性，该稳定性已推广至带小扰动的半线性 F-ODEs。本文主要致力于数值解长时间行为的定性分析。通过应用 Flajolet 与 Odlyzko（SIAM J. Disc. Math. 3 (1990), 216-240）所发展的生成函数奇异性分析，我们能够证明 $\mathcal{L}$1 格式与强 $A$-稳定分数线性多步法（F-LMMs）对线性齐次 F-ODEs 可如同连续情形一样精确保持数值 Mittag-Leffler 稳定性。通过对离散分数预解算子的改进估计，我们证明强 $A$-稳定 F-LMMs 在带小扰动的半线性 F-ODEs 下亦是 Mittag-Leffler 稳定的。对于基于 $\alpha$-差分近似 Caputo 导数的数值格式，我们利用 Poisson 变换的性质与连续分数预解算子的衰减率，建立了半线性问题的 Mittag-Leffler 稳定性。针对若干典型时间分数阶演化方程，包括时间分数阶次扩散方程、分数线性系统与半线性 F-ODEs，给出了数值实验。所有数值结果均展现出典型的长时间多项式衰减率，与我们的理论预测完全吻合。