尖点多项式 Landau-Ginzburg 轨形群的镜像对称

对于任意三元正整数 $A' = (a_1',a_2',a_3')$ 与 $c \in \mathbb{C}^*$，尖点多项式 $f_{A'} = x_1^{a_1'}+x_2^{a_2'}+x_3^{a_3'}-c^{-1}x_1x_2x_3$ 已知为 Geigle-Lenzing 轨形射影直线 $\mathbb{P}^1_{a_1',a_2',a_3'}$ 的镜像。更精确地，在适当选取原始形式下，尖点多项式 $f_{A'}$ 的 Frobenius 流形同构于 $\mathbb{P}^1_{a_1',a_2',a_3'}$ 的 Gromov-Witten 理论的 Frobenius 流形。本文将此镜像现象推广到等变情形。即，对于任意 $G$——尖点多项式 $f_{A'}$ 的一个对称群，我们引入对 $(f_{A'},G)$ 的 Frobenius 流形，并证明其同构于由另一组 $A$ 与 $\Lambda$（$\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ 上相异点）所标记的 Geigle-Lenzing 加权射影直线 $\mathbb{P}^1_{A,\Lambda}$ 的 Gromov-Witten 理论的 Frobenius 流形。对某些特殊取值的 $A'$ 与特殊选取的 $G$，会出现 $\mathbb{P}^1_{A'} \cong \mathbb{P}^1_{A,\Lambda}$。结合我们对 $(A,\Lambda)$ 的镜像对称同构与对 $A'$ 的“通常”同构，我们得到 Frobenius 势系数的一些恒等式。我们证明这些恒等式等价于 Jacobi theta 常数与 Dedekind eta-函数之间的恒等式。