镜像链环具有对偶的奇广义 Khovanov 同调

我们证明了由第二作者在时序配边框架下定义的广义 Khovanov 同调 admits 一个由群 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2$ 给出的 grading，其中所有齐次直和项都同构于定义在环 $\mathbb{Z}_{\pi}:=\mathbb{Z}[\pi]/(\pi^2-1)$ 上的统一 Khovanov 同调（此处，将 $\pi$ 设为 $\pm 1$ 分别得到偶或奇 Khovanov 同调）。广义同调以 $\Bbbk := \mathbb{Z}[X,Y,Z^{\pm 1}]/(X^2=Y^2=1)$ 为系数，上述结论意味着 $\Bbbk$ 的大多数自同构固定了作为 $\Bbbk$-模的广义同调的同构类，因此偶和奇 Khovanov 同调是该不变量的仅有的两个特例。特别地，交换 $X$ 与 $Y$ 诱导了链环 $L$ 的广义 Khovanov 同调与其对偶版本（即镜像 $L^!$ 的同调）之间的导出同构，并且我们计算了该映射的显式公式。当特化为整数时，它退化为奇 Khovanov 同调的对偶同构，这一结论此前由 A. Shumakovitch 猜想。