光滑数指数和的劣弧、均值与限制理论

我们研究了所有素因子均 $\leq y$ 且数值 $\leq x$ 的数上的指数和。我们证明了相当好的劣弧估计，其有效性范围为 $\log^{3}x \leq y \leq x^{1/3}$。接着，对于任意实数 $p > 2$ 且 $\log^{C(p)}x \leq y \leq x$，我们证明了（可能加权的）和的 $p$ 阶矩的尖锐上界。我们的证明发展了 Bourgain 的论证，表明即使没有强优弧信息也能成功，粗略地说，这将针对任何相对于其密度具有充分可分解性的集合给出尖锐的矩界和限制估计。通过将我们的界与 Drappeau 的优弧估计相结合，我们获得了方程 $a+b=c$ 在小于 $x$ 的 $y$-光滑整数中解数的渐近公式，适用范围为 $\log^{C}x \leq y \leq x$。此前这仅在假设广义黎曼猜想的情况下已知。通过将我们的结果与 Green 的转移机制相结合，我们证明了对于 $y$-光滑数的子集，只要 $\log^{C}x \leq y \leq x$，Roth 定理即成立。这提供了一个大小约为 $x^{1-c}$ 的确定性集合，在该集合内 Roth 定理成立。