离散分布加性标量泛函的极小极大最优估计量

在本文中，我们考虑从字母表大小为 $k$ 的离散分布 $P=(p_1,...,p_k)$ 中抽取的 $n$ 个独立同分布随机样本中，对定义为 $\theta(P;\phi)=\sum_{i=1}^k\phi(p_i)$ 的 $\phi$ 的加性泛函的估计量。我们提出了一种针对该加性泛函估计问题的极小极大最优估计量。我们揭示出，若发散速度较高，则极小极大最优速率由 $\phi$ 的四阶导数的发散速度刻画。结果表明，若 $\phi$ 的四阶导数的发散速度大于 $p^{-4}$，则不存在一致估计量。此外，若 $\phi$ 的四阶导数的发散速度为 $p^{4-\alpha}$（其中 $\alpha \in (0,1)$），则极小极大最优速率在一个通用乘法常数范围内为 $\frac{k^2}{(n\ln n)^{2\alpha}} + \frac{k^{2-2\alpha}}{n}$。