具有或不具有稀疏性的去卷积密度线性泛函估计的极小极大理论

本文考虑基于独立同分布观测值 $Y_i = \theta_i + \xi_i$ 估计未知去卷积密度 $f$ 的线性泛函 $\Phi=\int_{-\infty}^\infty \varphi(x) f(x)dx$ 的问题，其中 $\xi_i$ 具有已知概率密度函数 $g$，而 $f$ 是 $\theta_i$ 的概率密度函数。尽管许多作者已研究了该问题的各个方面和特例，但仍存在诸多空白。特别是，对于任意函数 $\varphi$，$\Phi$ 的估计量尚无极小极大下界。一般的上风险界仅涵盖 $\varphi$ 的傅里叶变换存在的情形。此外，当观测向量稀疏时，尚无估计 $\Phi$ 的理论。另外，迄今为止，间接观测中泛函 $\Phi_n = n^{-1} \sum_{i=1}^n \varphi(\theta_i)$ 的估计问题一直被视为与 $\Phi$ 估计无关的独立问题。本文旨在填补这些空白并发展 $\Phi$ 和 $\Phi_n$ 估计的一般极小极大理论。我们提出了一种估计 $\Phi$（及 $\Phi_n$）的通用方法，并在函数 $\varphi$ 平方可积的情形下提供了上风险界和极小极大下风险界。进一步，我们将理论扩展至 $\varphi$ 的傅里叶变换不存在，且 $\Phi$ 可表示为 $f$ 的傅里叶变换及其导数的线性泛函的情形。最后，我们将结果推广以处理向量 $\theta$ 稀疏的情况。作为所提理论的直接应用，我们获得了多项新结果，并自动恢复了各类问题的现有结果，例如去卷积密度的 $(2M+1)$ 阶绝对矩或广义矩的估计、混合累积分布函数或混合概率密度函数的估计（涉及经典误差和 Berkson 误差）。