球面中的极小曲面与类 Ricci 条件

我们研究球面的极小曲面，这些曲面局部等距于近乎 Kähler 球面 $\mathbb{S}^6$ 中全测地 $\mathbb{S}^{5}$ 内的伪全纯曲线。局部等距于 $\mathbb{S}^5$ 中的伪全纯曲线等价于类 Ricci 条件 $\Delta\log(1-K)=6K$，其中 $K$ 为诱导度量的高斯曲率。除球面的平坦极小曲面之外，伪全纯曲线在 $\mathbb{S}^5$ 中关联族曲面的直和也满足该类 Ricci 条件。这两类曲面均为例外曲面，即所有 Hopf 微分全纯的极小曲面，或等价地曲率椭圆直到倒数第二个具有恒定离心率的极小曲面。在适当的整体假设下，我们证明满足该类 Ricci 条件的球面极小曲面确为例外曲面，从而将这些曲面的分类归结为局部等距于 $\mathbb{S}^5$ 中伪全纯曲线的例外曲面的分类。事实上，我们证明了若干结果，其中包括：奇数维球面的此类例外曲面是平坦的，或是 $\mathbb{S}^5$ 中伪全纯曲线关联族曲面的直和。