极小连结与 Gaeta 的一个结果

设 $V$ 是 $n$ 维射影空间中等维余维数 $c$ 子概形，若 $V$ 通过完全交 $X$ 与 $V'$ 连结，且 $X$ 是包含 $V$ 的最小次数余维数 $c$ 完全交，则称 $V$ 与 $V'$ {\em 极小连结}。Gaeta 证明了，若 $V$ 是任意余维数为 2 的算术 Cohen-Macaulay (ACM) 子概形，则存在以 $V$ 为起点并到达完全交的有限极小连结序列。我们从以下几个方面推广了这一工作：1）在余维数 2 非 ACM 情形下，我们证明了对于任意 $n \geq 3$，存在在其偶连结类中非极小的子概形示例，且它们无法在任何步数下极小连结至极小子概形。2）尽管如此，在射影 3 空间中存在非 ACM 连结类的曲线示例，其中所有元素均可在有限步内极小连结至极小曲线。3）推广了作者此前与 Huneke 和 Ulrich 的工作（关于 licci 情形），我们证明了在任意更高余维数的非 ACM 情形下，同样存在在偶连结类中无法极小连结至极小子概形的非极小子概形。4）J. Watanabe 多年前已证明，任意维数的余维数 3 分次 Gorenstein 理想均是 licci 的。本文证明，任何此类理想均可在有限步内极小连结至完全交，且存在一系列严格递减的 CI-biliaisons 直至完全交，从而推广了 Hartshorne、Sabadini 和 Schlesinger 的工作。